ಪುರಾತನ ಇಜಿಪ್ಷಿಯನ್‌ಗುಣಾಕಾರ & ಭಾಗಾಕಾರ

ಶೇಷಗಿರಿರಾವ್. ಎಚ್

ಪ್ರಾಚೀನ ಈಜಪ್ಷಿಯನ್‌ರ ಗಣಿತ ಜ್ಞಾನ ಅರಿಯಲಯ ನಮಗೆ ಪೆಪರಸ್‌ ಸುರಳಿಗಳು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತವೆ. ವಿಶೇಷವಾಗಿ ರಂಡ್‌ ಪೆಪರಸ್‌ ಸುರಳಿ ಮತ್ತು ಮಾಸ್ಕೊ ಪೆಪರಸ್‌ ಸುರಳಿಗಳಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯಗಳು ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತಜ್ಞರನ್ನು ಅಚ್ಚರಿ ಗೊಳಿಸುತ್ತವೆ.ಸಾಮಾನ್ಯ ಓದುಗರನ್ನು ಗಮನದಲ್ಲಿ ಇಟ್ಟುಕೊಂಡು ಮತ್ತು ನನ್ನ ಮಿತಿಯೊಳಗೆ ಗಣಿತದ ನಾಲ್ಕು ಮೂಲ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳಾದ ಸಂಕಲನ, ವ್ಯವಕಲನ , ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಭಾಗಾಕಾರದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ವಿವರಿಸಿದೆ,ಸಂರ್ಕೀಣ ವಾದ ಜ್ಯಾಮಿತಿ  ಗೊಡವೆಗೆ ಹೋಗಿಲ್ಲ

ಮಾಸ್ಕೊ ಪೆಪರಸ್‌ನಲ್ಲಿನ ಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು

ಪುರಾತನ ಈಜಿಪ್ಟಿನವರ ಗುಣಾಕಾರ  ನಮಗಿಂತ ಬಹಳ ಭಿನ್ನವಾಗಿತ್ತು.ಅವರು ಗುಣ್ಯ ಮತ್ತು ಗುಣಕಗಳನ್ನು,  2  ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಭಾಗಿಸುವರು. ಅದು ನಮಗಿಂತ ಸುಲಭವಾಗಿತ್ತು. 8  ರ ಅರ್ಧ 4  ಆದರೆ ಕಪ್ಪೆ ಮರಿಯ ಅರ್ಧ  ಐದು ಎಂಬುದು ಮಾತ್ರ  ನೆನಪಿರಬೇಕು

. 36 ಮತ್ತು 57 ಗುಣಿಸೋಣ. ನಾವು ಒಂದುಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು.  (ಇಲ್ಲಿ: 36) ಅನ್ನು  2 ರಿಂದ ಒಂದು ಬರುವವರೆಗೆ ಭಾಗಿಸುತ್ತಾಹೋಗಬೇಕು. ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದ್ದಾಗ ಭಾಗವಾಗದಿದ್ದರೆ ಅದರಲ್ಲಿ1 ಕಳೆಯಿರಿ  1 ಉಳಿಯುವುದು, ಅಷ್ಟೆ ಸಲ ಇನ್ನೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ದ್ವಿಗುಣ ಮಾಡುತ್ತಾ ಹೋಗಿರಿ ( ಇಲ್ಲಿ  47 )  ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿದ್ದವನ್ನು ಕೂಡಿದರೆ ಗುಣ ಲಬ್ದ ಸಿಗುವುದು..

                                                  36X  47

ಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯೆ ಅರ್ಧ ಮಾಡಿ	ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆ	ಎರಡನೆ ಸಂಖ್ಯೆ ದ್ವಿಗುಣ ಮಾಡಿ	ಅರ್ಧ ಮಾಡಿದ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯ ದ್ವಿಗುಣ
36		47
18		94
9	1 ಕಳೆ	188	188
4		376
2		752	752
1		1504	1504
ಗುಣಲಬ್ದ	36X 47	=188  + 1504	1692

41 = 32 + 8 + 1. ಆದ್ದರಿಂದ  32, 8, 1 ಗಳಿಗೆ ಸಂವಾದಿಯಗಿರುವ ಕಂಬ ಸಾಲಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕೂಡಿಸಿ

  41             59

  _________________

   1             59

   2            118

   4            236

   8            472

  16            944

  32           1888

  _________________

               2419

ಗಣಿತದ ಸಮಸ್ಯಗಳಿರುವ ಪೆಪರಸ್‌

ಗುಣಾಕಾರವನ್ನುನನ ಬರಿ ಸಂಕಲನದಿಂದಲೇ ಮಾಡುವುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬಹುದು.. ಅಲ್ಲದೆ ದ್ವಿಮಾನಪದ್ದತಿಯ ಪ್ರಾಚೀನಕಾಲದಲ್ಲೆ ಬಳಕೆ ಮಾಡಿರುವರು ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನು ಅದಲು ಬದಲು ಮಾಡಲಾಗಿದೆ

41X59 = 59X41

    59             41

    _________________

     1             41

     2             82

     4            164

     8            328

    16            656

    32           1312

    _________________

                 2419

ಈ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪರಿಹಾರ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಲುಪ್ರತಿಸಂಖ್ಯೆಯೂ 2 ರಗುಣಕಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿರುವುದ ಎಂದು. ಇದರ ತತ್ವ ಪುರಾತನಈಜಿಪ್ಟಿನವರಿಗೆ ಗೊತ್ತಿರಲಿಕ್ಕಿಲ್ಲ ಮತ್ತು  ಅದು ಅವರಿಗೆ ಬೇಕೂ ಇರಲಿಲ್ಲ. ಅವರು ಅನುಭವದ ಆಧಾರದಿಂದ ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದರು. ಮೂಲತಃ ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ನಾವು  ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ದ್ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬೇಕು.

ಮೇಲಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು

41 = 1.2⁰ + 0.2¹ + 0.2² + 1.2³ + 0.2⁴ + 1.2⁵

ಮತ್ತು

59 = 1.2⁰ + 1.2¹ + 0.2² + 1.2³ + 1.2⁴ + 1.2⁵.

ಭಾಗಾಕಾರವೂ  ಗುಣಾಕಾರ ವಿರುದ್ಧದಿಶೆಯ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಆಗಿತ್ತು

ಉದಾಹರಣೆ:  17 ನ್ನು  3  ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬೇಕು.17 ಭಾಜ್ಯ  3 ಭಾಜಕ. ನಾವು ಭಾಗಲಬ್ದ ಮತ್ತು ಶೇಷವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು

       2 ರ ಗುಣಕಗಳು ( Powers)        ಭಾಜಕ ದ್ವಿಗುಣ ಗೊಳಸಿ

              

            2^0 = 1                       3

            2^1 = 2                       6

            2^2 = 4                      12

            2^3 = 8                      24

        24>17  ಇಲ್ಲಿನಾವು ನಿಲ್ಲಿಸಬೇಕು.

ನಾವು 3, 6, ಮತ್ತು 12 ರ ಸಂಯೋಜನೆಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ  12 + 3 = 15 ಬೆಲೆಯು 17  ಕ್ಕೆ ಅತಿ ಹತ್ತಿರವಾಗಿರುವುದು ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳ ಬಹುದು.

ಶೇಷ  17 – 15 = 2

ಈಗ ಶೇಷವನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಬಗೆ ಹೇಗೆ?

ಅವರು ಭಾಜಕದ 2/3 ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದರು.. ನಂತರ ಅದರ ½  ತೆಗೆದು ಕೊಂಡರು.

ನಾವು  2/3 ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಕಾರಣ ಈ ಲೆಕ್ಕದಲ್ಲಿ 3 ಭಾಜಕವಾಗಿದೆ.. ನಮಗೆ  3/3 = 1, ಎಂದು ಗೊತ್ತಿದೆರುವುದರಿಂದ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಬೆಲೆ ತಿಳಿದು ಕೊಳ್ಳ ಬಹುದು  1/3 ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಬೆಲೆ ತಿಳಿಯಬಹುದು. 3 ಭಾಜಕವಾದಾಗ ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಶೇಷ ಗಳೆಂದರೆ 0/3,

1/3, ಮತ್ತು 2/3.

ಈಗ ನಮಗೆ ಗೊತ್ತಿದೆ:ಭಾಗ ಲಬ್ದ 

     

       ಎರಡರ ಗುಣಕಗಳು               ಭಾಜಕ ದ್ವಿಗುಣ ವಾದಾಗ

              

            2^0 = 1                       3

            2^1 = 2                       6

            2^2 = 4                      12

                2/3                       2     (  3  ರ  2/3  = 2)

                1/3                       1     (  3 x 1/2 x 2/3  = 1)

ಭಾಜಕದ ಲಂಬಸಾಲನ್ನು   ಸಂಕಲನ ಮಾಡಿದರೆ ಅದರ ಬೆಲೆ 17?

         

          3 + 12 + 2 = 17

        

ಇದು 2 ಪವರ್‌ ನ ಲಂಬಸಾಲಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರುವುದಾಗಿದೆ..

 ಅಂದರೆ ಭಾಗಾಕಾರವನ್ನು ಈಜಿಪ್ಟಿನವರು ಸಂಕಲನದಿಂದಲೇ ಮಾಡುತಿದ್ದರು. ಒಂದು ಗಮನಿಬೇಕಾದ ಅಂಶವೆಂದರೆ ಅವರು ಆರು ಸಹಸ್ರ ವರ್ಷಗಳ ಮೊದಲೇ ಈಗ ಆಧುನಿಕ ಕಾಂಪ್ಯೂಟರ್‌ನಲ್ಲಿ ಬಳಸುವ ದ್ವಿಮಾನ ಪದ್ದತಿಯನ್ನು  (0,1) ಉಪಯೋಗಿಸುತಿದ್ದರು.

 ಇನ್ನು ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಅವರ ಪರಿಣತೆಯನ್ನು ಸಾರಲು ಪಿರಮಿಡ್‌ಗಳೇ, ಬೃಹತ್‌ದೇಗುಲಗಳು ಮತ್ತು ವಿಗ್ರಹಗಳು ಸಾಕ್ಷಿ. ಫೈಥಾಗರಸ್‌ ಪ್ರಮೇಯದ ತತ್ವವನ್ನು ಅವನಿಗಿಂತ ಸಾವಿರ ವರ್ಷ ಮೊದಲೇ ಅವರು ಅಳವಡಿಸಿಕೊಂಡು ಬೃಹತ್‌ಕಟ್ಟಡಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದ್ದರು

ಬೃಹತ್‌ನಿರ್ಮಾಣಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ ಅವರಿಗೆ ವಿವಿಧ ಆಕೃತಿಗಳಾದ, ವೃತ್ತ, ತ್ರಿಕೋನ, ಸಿಲಿಂಡರ್, ಶಂಕುವಿನ  ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಮತ್ತು ಘನಫಲದ ತಿಳುವಳಿಕೆ ಇರುವುದು ಸ್ಪಷ್ಟ.ಅವರು ಜ್ಯಾಮಿತಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸಿರುವುದುಮಾಸ್ಕೊ ಮ್ಯಾಥ ಮೆಟಿಕಲ್‌ಪೈಪರಸ್‌ (MMP)  ಮತ್ತು  ರಿಂಡ್‌ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್‌ಪೈಪರಸ್‌(  RMP).ಎಂಬ ಪುರಾತನ ಬರಹಗಳಿಂದ ವ್ಯಕ್ತವಾಗುವುದು.ಅವು ಕ್ರಿ. ಪೂ. 3000 ರಿಂದ 300ನೆಯ ಇಸ್ವಿಯ ಅವಧಿಯವಾಗಿವೆ